採用面接ではどのような質問をしているのか、業務内容や予定している役職によっても様々だと思いますが、目的は採用後に能力をフルに活かして、継続して働いて会社に貢献して欲しいということだと思います。スキルや経験は履歴書や職務経歴書で確認してあるケースが多いため、面接ではコミュニケーション能力を重視して見るケースもあれば、書類審査では判断できない能力を図ることを重視している場合もあります。

日本の法律では、解雇に関して非常に厳しく制限されています。試用期間を設けることはできますが、短い期間でその人の能力を見極めることは難しく、採用後14日を過ぎれば、試用期間中であっても解雇予告手当の支払義務が発生します。
せっかく採用したのに、すぐに退職されたのでは、採用活動に掛かる費用も労力も増えるばかりです。採用の段階ですでにミスマッチになっていたのでは、結局数年後に離職ということになり、離職率が高い状態では、常に採用のための費用が必要になり、残った従業員は離職者の穴埋め作業から中々離れることが出来ません。
ただ、その人のことを出来る限り知るためとは言え、どんな質問をしても問題はないのでしょうか？

健康面に関しての質問は、聞きづらいところではありますが、重要だと思います。
雇用契約とは労働力を買い取ることでもあり、会社は健康に働けることを前提として労働条件を提示します。（一定の規模の企業では、障害者雇用促進法による障害者雇用に関するルールがあります）

肉体的に負担の大きい業務であったり、海外赴任の可能性があるような場合には、身体的に耐えられるのかどうか、健康情報を収集することは不可欠と言えます。
健康診断書を提出してもらうケースもあります、個人情報保護法と混同されがちですが、個人情報保護法は同意を得て収集した情報をどのように管理するかを制限するもので、収集することは問題ありません。
ただ、一定の疾病「HIV」や「B型・C型肝炎」に関しては、特別な事情がない限り取得すべきではないとされています。
精神疾患の病歴がないかを聴くことも禁止はされていません。あまり直接的に具体的に聞くことは避けたい場合は、チェックシートを用意しておき、記入してもらうようにすれば良いかと思います。
面接に関するご相談も承っておりますので、神戸で社労士をお探しの方はお気軽にお問い合わせください。