社会保険（健康保険、介護保険、厚生年金保険）は、年齢や勤務時間等によって喪失します、定年退職の場合、再雇用の働き方によっては喪失する場合もあります。引き続き加入する場合一旦喪失し、同日に取得手続きを行うことで、月額変更届（3ヶ月後）を待たずに、再雇用後の給与額に見合った社会保険料に変更することができます。
雇用保険も勤務時間等によっては喪失しますが、引き続き加入するケースが多いかと思います、雇用保険料は支給される給与額に応じて保険料が計算されるため、改めて喪失、取得の手続きは不要です。

役員に就任する場合、労働者としての性格を失いますので雇用保険は喪失します、社会保険については基本的に継続加入となり、給与→役員報酬の金額が大きく変動する場合、３ヶ月後に月額変更届の手続きを行うことになります。

2社以上の役員を務める場合、両方で社会保険に加入することになり、「二以上事業所勤務届」の届出が必要になる場合があるので注意が必要です。