契約社員・パートタイマー・アルバイトなどの有期契約労働者（契約期間を定めて雇用契約を締結している労働者）は、同じ会社で契約が更新され通算5年を超えた時は、労働者の申し込みによって無期雇用に転換できるルールがあります。
無期雇用への転換には労働者からの申し込みが必要ですが、申し込みは書面でなく口頭でも成立します。
労使間で意思の相違がないよう、次の更新で在職期間が5年を超える方がいるような場合には、前もって契約更新時に説明しておくのが良いかと思います。